НАУКА И МЫ

Медицинские, исторические, технические, социальные и другие научно-исследовательские работы

Образование »  » Технические

Многогранники


Многогранники

   Основные понятия и виды простых многогранников. Многогранной поверхностью называются совокупность конечного множества многоугольников, называемых гранями, причем каждая сторона одной любой грани либо принадлежит только одной этой грани, тогда она называется граничным ребром, либо сторона принадлежит двум и только двум граням называются вершинами этой поверхности, причем каждую вершину с другой соединяет пространственная ломаная, состоящая из звеньев – сторон многоугольников.

   Простым многогранником называется многогранник обладающий свойствами: 
а) все его грани – простые многоугольники;
б) ребра многогранника не имеют общих внутренних точек и общих внутренних точек с
гранями;
в) вершины многогранника не лежат во внутренних точках ребер и граней;
г) плоские углы граней с общей вершиной образуют один многогранный угол.

   Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону плоскостей, совпадающих с любой его гранью, и невыпуклым, если существует хотя бы одна грань такая, что плоскость, совпадающая с этой гранью, разрезает многогранник так, что находится по обе стороны этой плоскости.

   Среди многогранников, ограниченных одноименными многоугольниками можно выделить ограниченные только треугольниками, только четырехугольниками, только пятиугольниками. Приложение II(а).

   Среди многогранников, ограниченных неодноименными многоугольниками, можно выделить ограниченные совместно треугольниками и четырехугольниками или треугольниками и шестиугольниками, или треугольниками и восьмиугольниками.

   Среди многогранников выделяется множества многогранников под названием призматоиды. 

   Призматоидом называется простой многогранник, у которого две грани – многоугольники находящиеся в параллельных плоскостях (многоугольники не обязательно одноименные), называемые основаниями, а все остальные грани – треугольники, у которых вершины находятся как в вершинах верхнего, так и нижнего основания, и по одной стороне совпадают или со стороной верхнего или нижнего основания. Приложение II(в).
5. Выделим особые призматоиды:
а) Понтоны. Приложение II(г).
Понтоном называется призматоид, у которого основания – одноименные многоугольники.
Особые понтоны: обелиск. Приложение II(д).
Обелиском называется понтон, у которого основания – прямоугольники, а боковые грани – трапеции.
Особые обелиски: клин. Приложение II(е).
Клином называется обелиск, у которого одно основание – прямоугольник – выродилось в отрезок, где боковые грани выродились в треугольники.
б) Усеченная пирамида. Приложение II(ж).
Усеченной пирамидой называется призматоид, у которого основание – подобные простые многоугольники, а боковые грани – трапеции.
Пирамидой называется призматоид, у которого одно основание выродилось в точку.

   Выделим особые пирамиды: тетраэдр, правильная пирамида.
а) Тетраэдром называется пирамида, у которой в основании треугольник.
б) Правильной пирамидой называется пирамида, у которой основание – правильный
многоугольник и отрезок (высота), соединяющий вершину пирамиды с центром основания, перпендикулярен к плоскости основания.

   Выделим их правильных пирамид правильный тетраэдр, т.е. такой, у которого все грани – правильные равные треугольники.

   Призма. Призмой называется призматоид, у которого основание – равные простые многоугольники, а боковые грани – параллелограммы. Выделим призмы: 
а) Наклонные, у которых боковые ребра не перпендикулярны к плоскости основания.
б) Прямые, у которых боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания.

   Из прямых призм выделим правильные, у которых основания – правильные многогранники, а высота проходит через центры оснований. Выделим особые призмы - параллелепипеды.

   Параллелепипедом называется призма, у которой основания – параллелограммы.

   Выделим особые параллелепипеды: 
а) Наклонные, у которых боковые ребра не перпендикулярны к плоскости основания.
б) Прямые, у которых боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания.

   Выделим особые прямые призмы:
а) Прямоугольные параллелепипеды, т.е. те, в основаниях которых прямоугольники;
б) Кубы, у которых все грани квадраты.

   Антипризмы. Антипризмой называется призматоид, у которого основания – равные многоугольники, боковые грани – только треугольники.

   Многогранники нулевого рода и теорема Эйлера. В определении простого многогранника указано, что существует пространственная ломаная, звенья которой – ребра многогранника такие, что начало и конец ломаной находятся в любых вершинах многогранника. Можно взять ломаную замкнутую (начало и конец ее совпадут), которая называется разрезом многогранника. 

   Подобные и равные многогранники. Подобными многогранниками называются многогранники, у которых только имеются соответственно подобные многоугольные грани и соответственно равные многогранные углы. 
Из этого определения следует:
1) сходственные ребра в подобных многогранниках пропорциональны, так как в подобных гранях отношение сходственных ребер одно и то же;
2) двугранные углы соответственно равны и одинаково расположены, так как многогранные углы равны.

   Правильные, как и полуправильные, многогранники одного вида – суть подобные многогранники: все правильные тетраэдры, все правильные октаэдры, все правильные икосаэдры, все правильные додекаждры и все кубы – подобные соответственно многогранники между собой. 

   Прямоугольные параллелепипеды не подобны между собой, достаточным условием их подобия является пропорциональность их ребер, выходящих из одной вершины.

   Равными многогранниками называются подобные многогранники, у которых коэффициент подобия равен 1. Если у правильных одноименных многогранников имеется равенство ребер, то они равны, так, правильные тетраэдра с равными ребрами – равны; то же можно сказать о правильных октаэдрах, правильных икосаэдрах, правильных додекаэдрах и кубах. 

   Правильные n-угольные призмы не подобны между собой; достаточным условием их подобия является пропорциональность их боковых ребер и ребер основания, то есть , где l и l1 – ребра боковые, а а и а1 – ребра основания, если коэффициент подобия k = 1, то эти призмы равные.

   Правильные n-угольные пирамиды не подобны между собой; достаточным условием их подобия является пропорциональность их боковых ребер и ребер основания или высот и ребер основания, то есть , или ; если коэффициент подобия k = 1, то эти пирамиды равны.

   Возникают задачи: сколькими элементами вполне определяется тот или иной многогранник?
1. Одним линейным элементом, например ребром, определяется каждый правильный многогранник, а значит, и все его элементы определены этим ребром. Так, куб, ребро которого а, имеет: 12а – сумма ребер, 6а2 – площадь поверхности, а3 – объем.
2. Двумя элементами определяется правильный параллелепипед, в основании которого квадрат; ребро основания а и боковое ребро l. Имею: 8а + 4l – сумма ребер, 2а2 + 4аl – площадь поверхности, а2 · l – объем.
3. Тремя элементами определяется любой прямоугольный параллелепипед, где а,b,l – ребра, выходящие из одной вершины. Имею: 4(а + b + l) – сумма ребер, 2(аb + al + bl) – площадь поверхности, abl – объем.
4. Четырьмя элементами определяется прямой параллелепипед, где a,b,l – ребра, выходящие из одной вершины, и - угол между а и b в параллелограмме основания. Имею: 4(а + b + l) – сумма ребер, 2(ab · sin + al + bl) – площадь поверхности прямого параллелепипеда, abl · sin - объем.
5. Пятью элементами определяется наклоннный параллелепипед , у которого a,b,l - ребра, выходящие из одной вершины, - угол между а и b, - угол между а и l, 900 – угол между b и l. Имею: 4(а + b + l) – сумма ребер, 2(ab · sin + al · sin + bl) - площадь поверхности.

   Звездчатые многогранники. Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют так называемые звездчатые многогранники. Правильные звездчатых многогранников всего четыре. Первые два были открыты И.Кеплером (1571-1630 гг.), а два других почти 200 лет спустя построил Л.Пуансо (1777-1859 гг.). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называются телами Кеплера – Пуансо. Они получаются из правильных многогранников продолжением их граней или ребер. 

   Из тетраэдра, куба и октаэдра звездчатые многогранники не получаются.Например, додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником. Приложение V(а). В результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром. Приложение V(б). При продолжении граней додекаэдра возникает две возможности. Во-первых, если рассматривать правильные пятиугольники, то получается так называемый большой додекаэдр. Если же, во-вторых, в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники, то получается большой звездчатый додекаэдр. Приложение V(в). Икосаэдр имеет одну звездчатую форму – большой икосаэдр. Таким образом, существуют четыре типа правильных звездчатых многогранников. 

   Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки – это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать всевозможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

   Правильные многогранники можно вписать друг в друга. Так, в куб можно вписать октаэдр. Центр граней куба образует вершины вписанного в него октаэдра. В свою очередь, центр граней октаэдра образуют вершины вписаного в него круга. Многогранники, обладающие таким свойством, называются взаимно двойственными. Таким образом, октаэдр и куб – взаимно двойственные многогранники. Приложение VI(а).

   Другим примером взаимно двойственных правильных многогранников являются додекаэдр и икосаэдр. (Центры граней додекаэдра находится в вершинах вписанного в него икосаэдра. И наоборот, центры граней икосаэдра служат вершинами вписанного в него додекаэдра.).

   Правильные многогранники можно вписать друг в друга не только таким способом. Например, в куб можно вписать тетраэдр. При этом вершины тетраэдра будут лежат в вершинах куба. В свою очередь, куб можно вписать в додекаэдр так, чтобы вершины куба лежали в вершинах додекаэдра. Приложение VI(б). При вписывании одного правильного многогранника в другой, вершины первого могут лежать на серединах ребер второго. Такими многогранниками являются тетраэдр и вписанный в него октаэдр.

   Есть еще один способ: некоторые противоположные ребра вписываемого многогранника лежат на гранях описываемого. При этом середины ребер совпадают с центрами соответствующих граней. Таким способом можно вписать в куб икосаэдр или додекаэдр. На приложении VI(в) изображена видимая часть додекаэдра, вписанного в куб. Комбинируя рассмотренные случаи, в любой правильный многогранник можно вписать все остальные правильные многогранники. 

   В додекаэдр можно вписать икосаэдр, куб и тетраэдр. Вписывая в куб додекаэдр и октаэдр, получим октаэдр, вписанный в додекаэдр, и, следовательно, в додекаэдр можно вписать все остальные правильные многогранники. 

   Икосаэдр можно вписать в додекаэдр и, следовательно, куб и тетраэдр. Вписывая в куб икосаэдр и октаэдр, получим октаэдр, вписанный в икосаэдр. Таким образом, в икосаэдр можно вписать все остальные правильные многогранники.

   Октаэдр. В него можно вписать куб и октаэдр. Описывая около куба, вписанного в октаэдр, додекаэдр, получим додекаэдр, вписанный в октаэдр. Приложение VI(г). Таким образом, в октаэдр можно вписать остальные правильные многогранники. 

   Правильный многогранник – тетраэдр. В него можно вписать октаэдр. Вписывая в октаэдр куб, икосаэдр и додекаэдр, получим, что в тетраэдр можно вписать все остальные правильные многогранники. Последовательно вписывая друг в друга правильные многогранники, получим так называемое каскадное вписывание. Число всевозможных каскадов из различных правильных многогранников равно 5! = 120.

   При построении каскадного вписывания правильных многогранников, обратите внимание на одно замечание. Во-первых, центры последовательно вписанных друг в друга правильных многогранников совпадают; во-вторых, если вершины вписанного многогранника лежат в центрах граней описанного многогранника, то радиус сферы, описанной около вписанного многогранника, будет равен радиусу сферы, вписанной в описанный многогранник. Если вершины вписанного многогранника лежат на серединах ребер описанного многогранника, то радиус сферы, описанной около вписанного многогранника, равен радиусу сферы, касающейся середин ребер вписанного многогранника. 

   Многогранники в природе. В природе многие вещества имеют кристалическое строение в виде многогранников: кристаллы каменной соли и сахара имеют форму куба; кристаллы алмаза – октаэдра; кристаллы кварца (горный хрусталь, аметист, желтые и дымчатые кварцы - раухтопазы) имеют форму шестигранной призмы – карандаша; кристаллы берилла (изумруда) – шестигранная призма. Кристаллы вырастают геометрически точными многогранниками только лишь при благоприятных условиях. С древнейших времен формы многогранников привлекали внимание человека. Например, многие виды огранки драгоценных камней представляют собой многогранники: огранка «алмазная таблица», «антверпенская роза» - самые простые виды огранки. Эти формы можно получить и в школьной мастерской, если имеется небольшой станок для обработки камня. 

   Многогранники, как простейшие и красивые пространственные формы, применялись уже в древние и средние века: знаменитые египетские пирамиды; башни, храмы, замки; замечательные творения русских зодчих на землях Киева, Новгорода, Пскова, Владимира, Москвы. 

   Пирамиды – самое удивительное чудо из семи чудес древности, единственное, дошедшее до наших дней. О пирамидах знали в Вавилоне, Греции, Риме. Казалось, они существовали всегда, с самого сотворения мира. Просвещенная Европа «открыла» их только в начале XIX века, после египетской экспедиции Наполеона, взявшего в поход большую группу ученых, в том числе историков и археологов. Ценные коллекции, рисунки памятников и копии надписей, подробные описания находок, вышедшие вскоре, стали настоящим открытием древнейшей цивилизации. «С Наполеона» началась подлинная египтология – изучение жизни и культуры великого народа, сотворившего шедевры, удивляющие даже в наше время. Пирамиды во многом остаются загадкой. После расшифровки Ж.Шампольоном египетского иероглифического письма, в чем очень помог двуязычный Розеттский камень (трофей тоже военной экспедиции), история египта стала на твердую почву. Были прочтены тысячи попирусов, надписи в храмах и гробницах. Стало известно, когда и кем построены пирамиды.

   Формы многогранников широко используются в современной архитектуре, технике, оптической технике, в машиностроении, в различных изделиях из древесины и металла, форму которых образуют поверхности многогранников. В исследовательской работе и в инженерном деле сложные геометрические формы нередко заменяют близкими по форме поверхностями многогранников. В физике твердого тела также применяются многогранники. Некоторые кристаллы имеют довольно простую форму, но их комбинации могут создавать очень сложные многогранники.

Новые технологии на страже водосбережения

 »  »  » 
Альтернативная энергия
Земная атмосфера
Зеркала
Открытки своими руками
Поиск